第42回 2011年3月5日14:30〜
場所 研修室
参加者4名

 非可換ゲージ理論に入る。フェルミオンの2重項を考える。さらりと2つのフェルミオンの質量が等しいと仮定し、それらが混じり合うような変換を考える。この変換はユニタリー変換である。この変換(ゲージ変換)がローカルであると、ふつうの微分のままではラグランジアンなりディラック運動方程式は不変にならない。そのため微分を共変微分にしなければならないことはU(1)の時と同じ。ただ、非可換であるため式はそれなりに複雑になる。ユニタリー行列、エルミート行列、パウリ行列などいろいろ登場するが、そもそもユニタリーとかエルミートとは何だったのかも復習した。
 共変微分を導入する際、Wというベクトルのベクトル場が登場する。無限小変換を考え、式を整理するとU(1)になかった-2λ×Wという項が現れる。さらに、今は弱い相互作用が念頭にあるので、2重項は左巻きのアップクォークと左巻きのダウンクォークの組、あるいは左巻きの電子と左巻きのニュートリノの組と考え、Wの2つの成分が何を意味するかと結合定数の普遍性に触れる。しかし、このままでは残るWの1成分の解釈に困る。テキストでは触れられてないが、さらに言えば、左巻きだけを考えた時点で、ディラック方程式の質量項は左巻き成分と右巻き成分を混合させてしまう(ワイル表現でみると分かりやすい)。そのため、フェルミオンの質量を0としなければならない。
 このようないくつかの不具合を解決するのが次回学ぶワインバーグ・サラム理論である。