『科学談話室』の話題より
共振現象
2004/12/19 話題提供
2005/01/19 最終更新
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[danwa:0974]　共振現象
Date: Sun, 19 Dec 2004 12:32:27 From: SMMR
談話室のみなさんこんにちは
ＳＭＭＲです
年末のいそがしい時期に、「共振現象」で 思考のつぼにはまってしまいました。
自分では、何が落とし穴か良くわかりません。 誤解を指摘いただければ幸いです。

（重さの無視できる）ばねと質点がつながれた１次元振動 のよくある問題で、バネ定数kと質点の質量mとした 時、固有振動数はW0＝(m/k)^0.5となってます。
これに外力として、質点にF=f0*cos(W・t）が加わるときの 質点の運動に関する問題です。
(f0：外力の振幅，W：外力の振動数,ｔ：時間）

この解として、特解　X=f0/(k-mW＾2)*cos(W．t)．．．式A
が得られます。ここで、共振状態W=W0になる外力を加えると 振幅が形式的に、無限大(摩擦を無視すれば）ですが、 以下がわかりません。

(1)　式Aより、外力Fを加え始めて即（t=0）、振幅が無限大
　　　になる様に思えるが、本当か？
　　　（実際は徐々に大きくなる様に思います。．．摩擦を無視
　　　したからでしょうか？）
(2)　共振したとき、振幅無限大になるとしたら、そのエネルギー
　　　は無限大？、
　　　この無限大のエネルギーはどこからやってきた？
　　　(外力が無限大のエネルギーを供給した？）

理解していたつもりの強制振動で、つぼにはまった様で、 ご教示いただければ幸いです。

以　上


[danwa:0975]　Re: 共振現象
Date: Mon, 20 Dec 2004 22:30:32 From: 浜口
談話室のみなさん，おひさしぶりです．
浜口です．

ＳＭＭＲさん，はじめまして．

（[danwa:0974]ＳＭＭＲさん）
>これに外力として、質点にF=f0*cos(W・t）が加わるときの
>質点の運動に関する問題です。
>(f0：外力の振幅，W：外力の振動数,ｔ：時間）

　運動方程式
　ｍｘ''＋ｋｘ＝ｆo cos(ωt）　　……(1)
を考えるということですね．
（記号「'」はｔによる微分）

　両辺をｍで割り．√(ｋ/ｍ)をωoと書いて，

　ｘ''＋ωo^2 ｘ＝ｆo/ｍ cosωｔ　……(2)

としておきましょう．

>この解として、特解　X=f0/(k-mW＾2)*cos(W．t)．．．式A
>が得られます。

　はい，そこまではいいと思います．
　(2)の特解として，
　ｘ＝ｆo/{ｍ(ωo^2−ω^2)} cosωt　……(3)
が見つかるわけです．

>ここで、共振状態W=W0になる外力を加えると
>振幅が形式的に、無限大(摩擦を無視すれば）ですが、

　えーと，特解(3)は，ω≠ω0の場合に有効な解ですよね．
　ω＝ωoの場合はまた別の話になると思いますよ．
　
　ｘ''＋ωo^2 ｘ＝ｆo/ｍ cosωoｔ　……(4)
　
の特解を見つけるために，係数Ｃをｔの関数と仮定して，
（「未定係数法」だったかな）

　ｘ＝Ｃ(ｔ) sinωoｔ　……(5)
　
とおきます．これを(4)に代入して，うまくいくように関数Ｃ(ｔ)を求めてみます．
　(5)を(4)に代入して左辺を整理すると，
　
　Ｃ''sinωoｔ＋２Ｃ'ωo cosωoｔ＝ｆo/ｍ cosωoｔ
　
　これをみたすためには，

　Ｃ''＝0　，Ｃ'＝ｆo/２ｍωo

　したがって，Ｃはｔの１次関数で，
　
　Ｃ＝(ｆo/２ｍωo)ｔ＋定数
　
　であればＯＫです．(5)にもどして，
　
　ｘ＝{(ｆo/２ｍωo)ｔ＋定数} sinωoｔ　
　
　初速をｘ'＝0とすれば，定数＝0なので，けっきょく，

　ｘ＝(ｆo/２ｍωo)ｔ sinωoｔ　
　
が特解になります．
　振幅が，ｔに比例して次第に大きくなっていくことがわかります．

　これ以上くわしいことは．常微分方程式の本を見ないとちょっと……


[danwa:0976]　Re: 共振現象
Date: Tue, 21 Dec 2004 22:23:43 From: 山田
山田です。

　共振現象は振動が外部から振動系に伝わってくることによって起こります。振 動系から外部に振動が出て行かないとすると外部から伝わってくる振動のエネル ギーがその振動系に蓄積することになります。振動系の振幅は蓄積していくエネ ルギーが増えるごとに増大することになります。外部から流入する単位時間当た りの振動のエネルギーが一定だとすると、振動系に蓄積されるエネルギーは時間 に比例します。外部からの流入が無限に長い時間続くとすると振幅は無限大に近 づいていくことになります。


[danwa:0977]　Re: 共振現象
Date: Wed, 22 Dec 2004 00:07:08 From: SMMR
ＳＭＭＲです。
浜口さん，山田さん
そうそう回答ありがとうございます。

浜口さん、明快な回答ありがとうございます。
私の誤解を直撃です。
> 　ω＝ωoの場合はまた別の話になると思いますよ
・・・・・
> 　ｘ＝(ｆo/２ｍωo)ｔ sinωoｔ．．．．（A）　
> が特解になります．
> 　振幅が，ｔに比例して次第に大きくなっていくことがわかります．

ω＝ω0の時は、方程式の解き方もちがうのですね。
・・むずかしい。
でも、物理的なところでは、十分納得できました。
（自分の疑問もとけました）
これで、良い年がむかえれそうです
ありがとうございますm(__)m

ところでω＝ω0とω≠ω0の時では，解の形がかなりかわる ものですね。（ωについて解が不連続？）
微分方程式のとき方として
> 　ｘ＝ｆo/{ｍ(ωo^2−ω^2)} cosωt　……(3)
を「ωをω0に近いところの解」として解いておいて、 あとでω→ω0ともっていってもよさそうなのに・・
これは、数学的には×なのですね。
(減衰のある時はこのやりかたでも良かった？）
ちょっと、自分で調べてみます。

山田さん、
>外部から流入する．．．．振動のエネルギーが一定だとする
>と、振動系に蓄積されるエネルギーは時間に比例します。
>外部からの流入が無限に長い時間続くとすると
>振幅は無限大に近づいていくことになります。

t=0で、即無限大の振幅になるのではなく、徐々に外部から エネルギーが蓄積されて振幅が大きくなるということですね
了解です。
浜口さんの解(上の式A)で状況がわかります。
お寺の大きな釣鐘も固有振動数でつつけば、指のような 小さな力でも、そのうち大きくゆれだす（？）ということ ですね。

ちょっと、休みに入ったら、a．F=f0cosωｔと式Aの時間微分 の積の積分，ｂ質点の運動エネルギー、ｃバネの位置エネル ギーを、 時系列で調べてみます。

ありがとうございました。


[danwa:0978]　Re: 共振現象
Date: Wed, 22 Dec 2004 15:25:47 From: 浜口
談話室のみなさん，こんにちは．
浜口です．

（[danwa:0977]ＳＭＭＲさん）
>ω＝ω0の時は、方程式の解き方もちがうのですね。
>・・むずかしい。
　
　そうなんですよね．
　ω＝ω0の場合，ｘ＝Ｃ cosωｔ（Ｃは定数）の形の特解は作れないんです．


　それと，山田さんのコメントに関して念のためひとこと補足を．
　
（[danwa:0976]山田さん）
>外部から流入する単位時間当たりの振動のエネルギーが一定だとすると、振動系に蓄積されるエネルギーは時間に比例します。

　山田さんのおっしゃるとおりです．
　ただし，ＳＭＭＲさんの設定(外力がｆo cosωoｔ)では，振動系に蓄積されるエネルギーは時間の２乗に比例します．
（単位時間当たりに流入するエネルギーは一定ではない）

>外部からの流入が無限に長い時間続くとすると振幅は無限大に近 づいていくことになります。

　これもおっしゃるとおりですが，運動方程式
　ｍｘ''＝−ｋｘ
が有効なのは「復元力が変位に比例する」とみなせる範囲においてだけです．


[danwa:0979]　Re: 共振現象
Date: Fri, 24 Dec 2004 22:01:48 From: 山田
山田です。

　共振・共鳴は、振動系に振動が伝わって、振動系内で、振動の伝播が安定した 状態で繰り返されて、振動のエネルギーが外部に流出しない状況になる、と考え ます。

　つまり振動系内で波動の反射が繰り返し生じ、それらが重なり合ったときに内 部に定常波が生じ、外部に振動が流出しない状況が生じることによって、振動の エネルギーが蓄積され、そのため振幅が次第に大きくなるのです。

　定常波が生じるような振動の振動数によって、このような現象が生じます。そ れ以外の振動数では内部に定常波が生じないので、振動のエネルギーが蓄積され ず、外部に振動が流出します。そのため振幅は大きくならない、というふうに考 えています。


[danwa:0980]　Re: 共振現象
Date: Sun, 26 Dec 2004 15:24:38 From: 浜口
　談話室のみなさん，こんにちは．
　浜口です．

　共振について，私なりに説明しておきます．

　共振とは
「固有振動数をもつ系に対して，固有振動数と等しい振動数の外力が加わったとき，エネルギーの流入(あるいは流出)が起こる」
という現象です．
　
「固有振動数と等しい振動数の外力」というところが最重要な点です．
（この点を無視したのでは共振の説明にならないと思います）

　
　例として，ＳＭＭＲさんの「ばね振り子」をとりましょう．
（摩擦のない水平面上で，ばねの一端が固定され，ばねの他端におもりがつながれている）

｜-///////////-●　　　
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

　まず，外力がないとき，おもりは固有振動数で左右に往復運動を続けています．
　
　さて，「固有振動数と等しい振動数の外力」が次の(1)のようなタイミングでおもりに加えられたとしましょう．

(1)『おもりが右に動いているとき外力は右向きで，左に動いているとき外力は左向き』
　
　(1)の場合，おもりは，往きも帰りも正の仕事を受けるので，おもりのエネルギーは増加していき，振幅はどんどん大きくなっていきます．
（運動の向きと，外力の向きがいつも同じなので，つねに正の仕事をされる）
　これは，ブランコに乗った子供の背中を押す，というのと本質的に同じです．
（ブランコでは，往くときに押し，戻ってくるときには力を加えない）
　
　もしも外力の周期が固有振動数と合っていないとすると，(1)のようにすることができません．
「運動の向きと外力の向きがつねに同じとは限らず，正の仕事を受けたり負の仕事を受けたりして，エネルギーは増加しない」
ということになります(共振は起きない)．
　
　たとえば極端な話，右向き一定の力を加え続けたとすると，おもりは右に動くとき正の仕事を受け，左に動くとき負の仕事を受け，結局受け取る 仕事の平均はゼロです．
（一定の力を加え続けたのでは振幅は大きくならない）
　
　
　余談ですが，現行の中学理科教科書では「仕事(＝力×移動距離)」が出てきません．
　それなのに「エネルギー」という語はよく出てくるんですよね．
　中学の先生はいったいどうやって「エネルギー」を教えてるんでしょうね．


[danwa:0981]　Re: 共振現象
Date: Sun, 26 Dec 2004 15:54:24 From: 山田
山田です。

　浜口さんの重要点のご指摘はもちろんわかります。
[danwa:0980]浜口さん wrote:
> 「固有振動数をもつ系に対して，固有振動数と等しい振動数の外力が加わったとき，エネルギーの流入(あるいは流出)が起こる」
> という現象です．

　この浜口さんの説明は高校物理の教科書でよくされるところです。私はこの説 明にエネルギー保存則を付加して強調したく思っています。

つまり
　「固有振動数と等しい振動数の外力」で系に流入したエネルギーがその系に蓄 積されていき、そのため振幅が大きくなる、ということなんです。

　よく誤解されるところなんですが、共振・共鳴は流入したエネルギー以上に何 か大きな仕事(大きな音でもいいんですが)を外にできるように思われたり、振幅 はすぐ無限大になる、なんて思われたりします。

　そのようなことはないわけで、じゃあ見かけ上、そのように見えるのはなぜか、 それはその系にエネルギーが蓄積されるからなんだ、ということなんです。
　ばね振り子にしてもブランコにしても外力が少しずつエネルギーを系に入れ込 んでいくので振幅が大きくなっていくということなんです。
　共振・共鳴現象でもエネルギー保存則が成り立っている、ということを強調し たいんですね。

> 　 > 　余談ですが，現行の中学理科教科書では「仕事(＝力×移動距離)」が出てきません．
> 　それなのに「エネルギー」という語はよく出てくるんですよね．
> 　中学の先生はいったいどうやって「エネルギー」を教えてるんでしょうね．

　今のカリキュラムではエネルギーの正確なイメージを伝えるのは無理だと思い ます。


[danwa:0982]　Re: 共振現象
Date: Sun, 26 Dec 2004 18:24:32 From: SMMR
談話室のみなさんこんにちは
SMMRです。

山田さん
山田さんの強調したい点、よくわかります。

> よく誤解されるところなんですが、共振・共鳴は流入
>したエネルギー以上に何か大きな仕事(大きな音でも
>いいんですが)を外にできるように思われたり、振幅
> はすぐ無限大になる、なんて思われたりします。

私の最初の誤った解では、t=０で、「即」無限大になる ため、エネルギーの収支があっておらず、この点を変だな と感じてもらう様な、意味もこめて質問させてもらい ました。
入力より、出力が大きくなるはずはない!　了解です。
浜口さん、
振動の位相に関して、下記と理解しておりますが どうでしょうか？
>さて，「固有振動数と等しい振動数の外力」が次の(1)
>のようなタイミングでおもりに加えられたとしましょう．
>(1)『おもりが右に動いているとき外力は右向きで，
>左に動いているとき外力は左向き』・・・

外力F=f0cosωｔに対して
変位は、X　＝(f0/2mω0)t*sinω0ｔ

したがって、共振状態では、 外力は質点の変位に対し（形式的には）位相が90°進ん で加えられるている。
つまり、共振状態では、浜口さんの図では、質点が中央 (ばね自然長の位置)を右向きに通過する時に、外力は 最大の右向きの力を加えている。
どうでしょう？


[danwa:0983]　Re: 共振現象
Date: Mon, 27 Dec 2004 01:38:16 From: 浜口
　浜口です．

（[danwa:0981]山田さん）

>私はこの説明にエネルギー保存則を付加して強調したく思っています。

>　よく誤解されるところなんですが、共振・共鳴は流入したエネルギー以上に何 か大きな仕事(大きな音でもいいんですが)を外にできるように思われたり、

　ああ，そういう観点だったのですか．
「共振現象ではエネルギー保存が成り立っていないかも」という発想は，私は思い至りませんでした．

>　共振・共鳴現象でもエネルギー保存則が成り立っている、ということを強調し たいんですね。

　わかりました．
>　今のカリキュラムではエネルギーの正確なイメージを伝えるのは無理だと思い ます。

　 　ですよねえ．
　「エネルギー」をきちんと定義せずに，「単位はＪ(ジュール)だ」とか「エネルギーにはいろいろな種類がありそれらは互いに移り変わる」とか 言ったって……．

　 　さらに余談ですが，物理分野の，現行の中高の理科カリキュラムは，最悪です(と私は思う)． 　あんなことを思いついたのはいったい誰なんだ，責任者出てこい！(と私は言いたい)


[danwa:0984]　Re: 共振現象
Date: Mon, 27 Dec 2004 01:43:26 From: 浜口
　浜口です．

（[danwa:0982]ＳＭＭＲさん）
>したがって、共振状態では、
>外力は質点の変位に対し（形式的には）位相が90°進ん
>で加えられるている。
>つまり、共振状態では、浜口さんの図では、質点が中央
>(ばね自然長の位置)を右向きに通過する時に、外力は
>最大の右向きの力を加えている。
>どうでしょう？

　 　まったくそのとおりです．
　ちなみに，質点の速度に対しては，位相は一致して加えられています．

　ところで，「固有振動数と等しい振動数の外力」が次の(2)のようなタイミングでおもりに加えられたとしますと，
(2)『おもりが右に動いているとき外力は左向きで，左に動いているとき外力は右向き』

　この場合には，おもりは，往きも帰りも負の仕事を受けるので，エネルギーは減少していき，振幅はどんどん小さくなっていきます． 　これも共振です．

　共振を観察できる実験に次のようなものがあります．
　 　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　｜　　　｜　
　　　　｜　　　｜　
　　　　｜　　　｜　
　　　　｜　　　｜　
　　　　｜　　　｜　
　　　　｜　　　｜　
　　　　●　　　●　
　　　　Ａ　　　Ｂ
　水平に張った糸に，同じ長さの糸でおもりＡ，Ｂをつるします．
　おもりＡだけを(紙面に垂直な鉛直面内で)振らせると，Ｂが動き始めてＢの振幅が大きくなっていき，同時にＡの振幅が小さくなっていきます．
　そのうちＡの振幅が0になりますが，その後どうなると思いますか．
　みなさん，ぜひやってみてください．


[danwa:0985]　Re: 共振現象
Date: Sat, 15 Jan 2005 20:38:56 From: 山口
山口と申します。振動のことはよく分からないのですが熱移動に関して 電熱を実数とし、蓄熱を虚数で解くと数学的にはきれいに解決します。 振動に於いても蓄積される振動を虚数で表すときれいに解決するのですか？



[danwa:0986]　Re: 共振現象
Date: Wed, 19 Jan 2005 01:22:39 From: 浜口
　浜口です．

　山口さん，はじめまして．

([danwa:0985]山口さん)
>電熱を実数とし、蓄熱を虚数で解くと数学的にはきれいに解決します。

　すみません，私の知らない分野の話で，意味がわかりません．
　もう少し具体的に書いていただけないでしょうか．


[danwa:0987]　Re: 共振現象
Date: Wed, 19 Jan 2005 20:07:01 From: 山口
失礼しました。電熱は伝熱の間違いで伝熱現象をオームの法則で解く方法です。 虚数 i　が電気以外の物理現象に適用できる初めての例なのでよく憶えていたもので す。具体的な例は手許に資料が無いので、直ぐには提出できないのですが、必要なら ば時間をかけて調べておきます。


[danwa:0988]　Re: 共振現象
Date: Thu, 20 Jan 2005 23:05:30 From: 浜口
　浜口です．

([danwa:0987]山口さん)

>電熱は伝熱の間違いで伝熱現象をオームの法則で解く方法です。

　オームの法則というのは　電圧＝電流×抵抗　ですよね．

>虚数 i　が電気以外の物理現象に適用できる初めての例なので

　オームの法則というのは電気に関するものだと思っていました．
　よくわからないので，もう少しヒントをいただけるとありがたいです．


[danwa:0989]　Re: 共振現象
Date: Sat, 22 Jan 2005 From: 山口
山口です。誤字やら説明不足やらご迷惑をかけ申し訳ありません。
少し冗長ですが面倒でも読んで下さい。
オームの法則は　電圧＝電流×抵抗　でも良いのですが、内容をどう説明して良いのか分らない（うまい表現があれば教えて下さい）ので私は電流＝電圧÷抵抗　の式を用い　電流は電圧に比例し抵抗に反比例する　と説明しています。それをダムの水に例え、水の流れる量はダムが高いほど、亦パイプの断面積が大きい程流れ易く、パイプが長いほど流れ難い　と説明しています。（その前に抵抗は長さに比例し断面積に反比例する事　R=ｋ×（ｌ/S)　ｋ：抵抗率　を教えておく）
ここまで説明すればお分かりの様にオームの法則は電気の法則と限定せず一般の物理
法則としても使えます。
これを日本語の訳に拘らず、原文で読むともっと分り易いと思います。
電流の英語はcurrent 　ですので電流に限らず水流や熱流にも適用されます。
電圧(電位差)は　potential の差ですが電位差より位置エネルギーの差の方が分り易いと思います。勿論　エネルギーの差(一般には温度差ですが温度にボルツマン係数をかければエネルギーになる)　にも適用されます。
抵抗は　前記のパイプの説明でも良いのですが、パイプの途中に緩衝用のクッションタンクなどがある場合はこの部分が虚数部分に相当します。そして両方のベクトル和をインピーダンスと言いますが分り難いので私はインピーダンスと言う言葉は専門家以外には使わず、抵抗と言う言葉を使っています。
上記の考えで伝熱現象をオームの法則で解いた例があるのですが、その書物は現役をリタイアーする時、義息に譲ったので今はありません。

虚数：私は高校時代、及び教養部の間虚数は嘘の数と思っていました。パラメータとしてのみ有効だからです。

級数展開やド・モアブルの定理などは意味は分からなかったが、利用すると多くの式が理解できた。亦三つの実数解を持つ三次方程式を解の式を用いると虚数部の解も最終的には実数になるので、実際は存在しないが便利な道具程度の認識しかありませんでした。しかし、電気を学び位相が90度異なるのが虚数に該当する事が分り、電気以外にも伝熱現象に於いて、蓄熱部が虚数部分に相当する事など実際の物理現象にも存在すると知ってから実在すると思うようになりました。現在では負の数が存在するなら虚数も存在すると考えています。負の数は基点に対して上か下か、右か左か、北か南か　と言う風に二次元で簡単に表示できるから分かり易いだけで、虚数は位相が90度異なるので二次元では表示できないだけだと主張しています。位相が90度異なると言うのは私は時間しか知らないのですが他にあるのですか？知っている方がいらっしゃれば教えて下さい。


[danwa:0990]　Re: 共振現象
Date: Sun, 23 Jan 2005 From: 山口
山口です。先に報告致しました資料が戻って着ましたので報告致します。
考え方は　電気書院　最新高級電験講座　16巻　照明・電熱
　　　　　　　電熱の項　2章　熱伝達と電熱計算　184〜205P　（伝熱の誤字ではない）
具体的な等価回路は　電気書院　電験問題研究会　電力応用の計算演習
　　　　　　　　　　　　　　熱計算と電気回路計算の相似性を利用した計算　
128〜150P

これには多くの等価回路が示されています。ただ、両書とも市販はされてないかもしれません。

・・・さて、この先 話はどうなるのか？お楽しみに！・・・
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