りんごを使って月までの距離を求める

『月と林檎』の解説

１．はじめに
　月と林檎の主旨のひとつは、月は地球に向かって落下を続けているのだが、月と地球の距離が大きいため、その落下する距離はびっくりするくらい小さい（毎秒僅か1.36mm）ということでした。
　この距離は地球に対して月が1秒間に移動する距離（1020m）に比べてみるとずいぶんと小さいのですが、1.36mm/1020mという比は、1秒間に月移動する角度（2.66×10^-6ラジアン）のちょうど半分になってます。
　ここではまず、どうしてちょうど半分になるのか解説しましょう。

２．半分になる理由

地球の公転運動は無視し、月は地球を中心に円運動しているとします。月の公転周期（1恒星月）をT、月の軌道半径をrと置くと、月の公転速度vは、

となります。したがって、��t秒間に月が移動する距離lは、

となります。
　また、地上での重力加速度をg、地球の半径をRと置けば、�冲秒間に月が地球に向かって落下する距離hは



です。

　一方、原点Oに地球を置き、rだけ離れたP点に最初月があったとします。P点にある月はOPと垂直の向きの速度を持っています。もし地球と月との間に重力が働かなければ、月は�冲秒後にP’点に移動するとします。△OPP’は明らかに∠Pが直角である直角三角形となります。そして∠Oの大きさをθと置けば、PP’の長さlはrθに等しくなります。
　実際には、重力があるので、月は�冲秒後にはOP’上の点Hにあるはずです。OHはrに等しく、HP’はhに等しくなります。
　ここで△OPP’に三平方の定理を用いると、


より

となります（ただし、θ<<1を使った）。
　したがって、

となり、h/lはθのちょうど半分になります。

３．月までの距離を求める

 h/lは、

とも表わせるので、

を用いると、

となり、ケプラーの第3法則が導かれます(参考：別の導き方)。この式にgとRとTを与えれば、月までの距離rが求まります。

　ｇの測定には、地上でもの（たとえばリンゴ）を落とすことでできます。